异步电机基于黄金分割法效率优化仿真

对于单谷函数p (x) , 设[a, b]是单谷函数p (x) 极小值的一个搜索区间, 在[a, b]上任取两点x₁、x₂且x₁<x₂。若p (x₁) <p (x₂) , 则[a, x₂]是p (x) 极小值的一个新的极小值搜索区间;若p (x₁) >p (x₂) , 则[x₁, b]是p (x) 极小值的一个新的极小值搜索区间。重复以上迭代过程就可缩小搜索区间, 最终可以得到函数的最小值。但是为了在最短的时间内缩小搜索区间, 就可采用黄金分割法。

设区间[a, b]的长为1, 在与a相距分别为α和β的点处插入x₁、x₂, 为了保证α和β是最合适的, 那么必须满足以下几个条件。

(1) 希望x₁、x₂两点在区间[a, b]中的位置是对称的。这样无论删去哪段区间, 总能保留长度为β的区间, 于是α+β=1, 如图2所示。

(2) 无论删去哪段区间, 都能使剩下的区间最小, 例如删掉[x₂, b], 在保留下来的区间里再插入一个点x₃, 使得x₃、x₁在[a, x₂]中的位置与x₁、x₂在[a, b]中的位置具有相同的比例。这样就可保证每次迭代都以同一比率β缩短区间, 由α/β=β/1, 可得α=β²。

由 (1) 、 (2) 可得α≈0.382, β≈0.618。这种按0.618黄金比率缩短区间的迭代算法被称为黄金分割法或优选法。已知单谷函数p (x) , 终止限ε, 则其算法步骤如下。

(1) 确定p (x) 的初始搜索区间[a, b]。

(2) 计算x₂=α+β (b-a) , 假设p₂=p (x₂) 。

(3) 计算x₁=a+b-x₂, 假设p₁=p (x₁) 。

(4) 若|x₁-x₂|<ε, 则输出最小值x^*= (x₁+x₂) /2, 结束计算;否则转 (5) 。

(5) 若满足p₁≤p₂, 则置b=x₂, x₂=x₁, p₂=p₁, 转 (3) ;若不满足p₁≤p₂, 则置a=x₁, x₁=x₂, p₁=p₂, 此时x₂=α+β (b-a) , p₂=p (x₂) , 转 (4) 。

由黄金分割法原理可知, 在基于黄金分割法的效率优化控制中, 首先应确定磁通的搜索空间[Ψ_min, Ψ_max]和终止限ε。通常将额定磁通值Ψ_m作为搜索空间的上限, 而选取10%的额定磁通作为搜索空间的下限, 即搜索空间为[0.1Ψ_m, Ψ_m]。本文设定的终止限ε为0.05Wb, 搜索区间和终止限确定后, 根据黄金分割算法的 (2) 和 (3) , 确定两个插入的磁通值Ψ₁和Ψ₂, 并分别检测Ψ₁和Ψ₂所对应的输入功率和。然后计算搜索空间上下限之间的差值绝对值|Ψ_max-Ψ_min|, 并与终止限ε进行比较。若|Ψ_max-Ψ_min|小于终止限ε, 则停止寻优, 输出最优磁通值Ψ^*= (Ψ₁+Ψ₂) /2;若|Ψ_max-Ψ_min|大于终止限ε, 则继续进行下一步p₁和p₂大小的判断。根据p₁和p₂的大小执行相应的算法, 得到新的搜索空间后继续迭代过程, 直到达到设定的终止条件, 停止搜索并退出寻优过程, 得到最优磁通值Ψ^*[3]。

通过以上分析可知, 若ε取得大一些, 则搜索时间会缩短, 但是最优磁通值的误差就会增大;若ε取得小一些, 虽然最优磁通值会更精确, 但是搜索时间会延长。在实际应用中发现, ε取得过小会导致直流侧功率出现一定的脉动, 所以ε取得过小将无法使寻优精度进一步提高。

黄金分割法算法流程和Simulink仿真模型分别如图3和图4所示。

下面主要对基于黄金分割法的效率优化控制策略进行仿真验证。仿真采用的异步电机参数见表1, Simulink仿真模型如图5所示。仿真设定初始磁通值为额定磁通值, 假设转子磁通的容许误差为0.05Wb, 在0.2s时速度已达到稳态, 切换到黄金分割法搜索控制。

给定转速为1000r/min, 给定负载转矩为0.3N·m时的仿真结果如图6所示。由此可知, 在运用黄金分割法的过程中, 异步电机转速变化较平稳, 电磁转矩波动较小, 经过大概8步寻优就可得到最优磁通, 损耗功率由开始的47W下降到31W, 效率优化效果明显。

给定转速1000r/min, 给定一组负载转矩分别为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5N·m时对应的效率如图7所示。由此可知, 采用黄金分割法效率优化控制能减小可控损耗, 从而达到提高异步电机效率的目的。在转速一定的情况下, 效率的提升幅度随着负载转矩的加大而减小, 即轻载条件下的效率优化效果最好。

通过对黄金分割原理进行分析, 研究了异步电机基于黄金分割法效率优化算法的过程, 搭建了Simulink仿真模型并进行了仿真。仿真结果表明在黄金分割法效率优化算法运行过程中, 转速变化平稳, 电磁转矩有轻微波动, 由此证明了基于黄金分割法效率优化的控制策略可在不依赖电机参数的条件下提高电机的运行效率, 且轻载时效率优化幅度更大。